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摘要 文章提出了一種分析和計(jì)算單層或多層線圈電感元件寄生電容值的方法。這種方法建立在理論分析基礎(chǔ)上，并根據(jù)電感元件的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)和線圈的層數(shù)建立分析模型和計(jì)算公式，以預(yù)測電感線圈的寄生電容值。
1 引言
*，電感元件的寄生電容值會(huì)直接影響其極限工作頻率，所以，電感器與變壓器的頻率響應(yīng)在高頻段和低頻段是不相同的。隨著工作頻率的提高，趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)導(dǎo)致繞組的寄生阻抗增加，同時(shí)，繞組的寄生電容值更加不可忽視。為此，準(zhǔn)確地預(yù)測電感元件工作在幾百kHz以上（例如工作在開關(guān)電源中）時(shí)的頻率響應(yīng)，對設(shè)計(jì)高頻功率電路是有積極意義的。然而，繞組的寄生電容和阻抗都是分布參數(shù)，其量值取決于頻率。所以，在理論上預(yù)測電感器件的頻率響應(yīng)特性的討論與分析較多地集中在繞組與磁芯的損耗方面，而單層或多層繞組的寄生電容對高頻特性的影響，則多從物理方面進(jìn)行理解，以此提出了一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。本文提出了一種分析計(jì)算單層或多層繞組電感元件寄生電容的方法。該方法建立在理論分析和電感元件的實(shí)物結(jié)構(gòu)上，也就是根據(jù)電感元件的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)和繞組的層數(shù)來建立計(jì)算公式以預(yù)測寄生電容值。例如，電感元件的繞組常常是分成許多相同的單元，利用其中的一個(gè)單元的等效電路表達(dá)式，即可對無論是帶有磁芯的還是沒有磁芯的單層或多層繞組的寄生電容值進(jìn)行計(jì)算，也可用作模擬試驗(yàn)。通過實(shí)驗(yàn)證明，用該方法計(jì)算得到的寄生電容值之準(zhǔn)確度是很高的。
2 電感器、變壓器的寄生電容模型
電感器和變壓器繞組存在的分布寄生電容，可以通過一個(gè)連接在其繞組兩端之間的電容器來模擬，圖1所示為電感器的等效電路圖。本文對繞組的分布寄生電容進(jìn)行分析是基于圖2所示的繞組結(jié)構(gòu)，即用單股線均勻繞制的電感器結(jié)構(gòu)模型。
電感器的總寄生電容包括如下幾個(gè)部分：①同一層繞組匝與匝之間的電容；②相鄰層繞組匝與匝之間的電容；③繞組每一匝對磁心及屏蔽層的電容。
圖2示出了有規(guī)則地繞制的三層繞組的剖視圖。圖3則示出了匝與匝之間分布寄生電容的基本單元ABCD。從圖2和圖3可見電感線圈結(jié)構(gòu)是成幾何對稱的，從繞組每一根導(dǎo)線發(fā)出的電力線*被另外的導(dǎo)線包圍。如果假設(shè)線圈的各部分（如匝與匝、匝與磁心、匝與屏蔽層）彼此相距很近，這就是說，將沒有那一根電力線可以發(fā)出去無窮遠(yuǎn)。又因?yàn)槔@組的結(jié)構(gòu)是幾何對稱型，所以電力線肯定只在鄰近的導(dǎo)線間均勻分布。假如只考慮兩根相鄰導(dǎo)線間的情況，則其寄生電容的微分方程式可寫為：
ds=ε·ds/x （1）
式中，ds為相鄰兩導(dǎo)線相對的表面面積的微分；ε=εo·εr是介質(zhì)材料的介電常數(shù)；x是這兩根導(dǎo)線對應(yīng)表面之間的電力線長度。在一般情況下，長度x不是常數(shù)，但可以表述為一個(gè)給定微面的函數(shù)。為此，應(yīng)選擇某一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)。對于圓形導(dǎo)體，給定的微面可以用一個(gè)角坐標(biāo)值θ表述，見圖4所示。因此，ds也取決于角坐標(biāo)值θ。
3 線匝間的分布寄生電容
3.1 寄生電容的基本單元結(jié)構(gòu)
反映線匝與線匝之間寄生電容的基本單元ABCD如圖3所示。從圖中可以看到，繞組之同一層次的相鄰兩線匝與不同層次的相鄰兩線匝的寄生電容基本單元是相同的。為此，里層的繞組都可以分解為相同的基本單元，只有鄰近磁芯和鄰近屏蔽層的單元和線匝—線匝間的單元不相同。但是，如果采用一階近似算法，則可以考慮將所有的寄生電容的基本單元定義為相同的。由圖3可以看出，它們包含著每線匝的對應(yīng)角度（=π/3）的周邊部分。因此，為了得到線匝與線匝間的寄生電容，式（1）應(yīng)在π/3上積分。從圖2和圖3所示的寄生電容單元的對稱性也說明了這種關(guān)系。使用一階近似計(jì)算時(shí)，對于沒有被*包圍的導(dǎo)線也可以采用同樣的角度。這種近似計(jì)算的方法等于忽略了邊緣效應(yīng)。
從圖3中可以看出，寄生電容基本單元的電力線穿越三個(gè)不同的區(qū)域，即兩個(gè)絕緣層和它們之間的空氣隙。由此可見，相鄰兩線匝間的寄生電容（dc）等同于三個(gè)微電容串聯(lián)，而且每個(gè)電容器都有均勻的介質(zhì)材料，*個(gè)電容器“寄生”于*線匝的絕緣層，第二個(gè)電容器“寄生”在空氣隙，第三個(gè)電容器“寄生”在第二線匝的絕緣層。由于每匝導(dǎo)線表面可以近似等效為“等勢面”，因此，電力線必定與導(dǎo)體表面正交。如果絕緣層的厚度尺寸S比導(dǎo)線直徑的尺寸（包括絕緣層厚度）Do小得很多，則絕緣層中電力線的路徑可以如圖4那樣作近似的處理。
計(jì)算相鄰線匝間空氣隙里實(shí)際的電力線路徑是很麻煩的，所以按可能的zui短路徑進(jìn)行保守的近似處理是常用的做法。該zui短路徑平行于匝間的中心線，圖4畫出了其中的一段，包括角坐標(biāo)θ。在θ角很小時(shí)，這種近似處理很有效，對計(jì)算線匝—線匝之間的寄生電容值有很大幫助。在θ值相對較大時(shí)，近似計(jì)算法產(chǎn)生的誤差將導(dǎo)致比理論計(jì)算出的寄生電容的值大一些。但是由于線匝—線匝表面之間的寄生電容值隨著θ值的增加而減小，故實(shí)際計(jì)算中發(fā)生的誤差可以被忽略不計(jì)。
3.2 絕緣層之間的寄生電容
圖5表示一個(gè)圓柱面的單元，它示出的是導(dǎo)體絕緣層內(nèi)表面和導(dǎo)體絕緣層外表面之間的那一部絕緣層的厚度。絕緣層的寄生電容的表達(dá)式由其微分方程式給出：
（2）
式中，r為導(dǎo)線半徑（不含絕緣層）；rc是在線半徑ro（包括導(dǎo)線絕緣層）上的積分，l是在零到匝長lt的積分。式（2）代入這些參數(shù)，即可得到dθ的絕緣層的寄生電容計(jì)算式：
（3）
*，電感元件的寄生電容值會(huì)直接影響其極限工作頻率，所以，電感器與變壓器的頻率響應(yīng)在高頻段和低頻段是不相同的。隨著工作頻率的提高，趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)導(dǎo)致繞組的寄生阻抗增加，同時(shí)，繞組的寄生電容值更加不可忽視。為此，準(zhǔn)確地預(yù)測電感元件工作在幾百kHz以上（例如工作在開關(guān)電源中）時(shí)的頻率響應(yīng)，對設(shè)計(jì)高頻功率電路是有積極意義的。然而，繞組的寄生電容和阻抗都是分布參數(shù)，其量值取決于頻率。所以，在理論上預(yù)測電感器件的頻率響應(yīng)特性的討論與分析較多地集中在繞組與磁芯的損耗方面，而單層或多層繞組的寄生電容對高頻特性的影響，則多從物理方面進(jìn)行理解，以此提出了一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。本文提出了一種分析計(jì)算單層或多層繞組電感元件寄生電容的方法。該方法建立在理論分析和電感元件的實(shí)物結(jié)構(gòu)上，也就是根據(jù)電感元件的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)和繞組的層數(shù)來建立計(jì)算公式以預(yù)測寄生電容值。例如，電感元件的繞組常常是分成許多相同的單元，利用其中的一個(gè)單元的等效電路表達(dá)式，即可對無論是帶有磁芯的還是沒有磁芯的單層或多層繞組的寄生電容值進(jìn)行計(jì)算，也可用作模擬試驗(yàn)。通過實(shí)驗(yàn)證明，用該方法計(jì)算得到的寄生電容值之準(zhǔn)確度是很高的。
2 電感器、變壓器的寄生電容模型
電感器和變壓器繞組存在的分布寄生電容，可以通過一個(gè)連接在其繞組兩端之間的電容器來模擬，圖1所示為電感器的等效電路圖。本文對繞組的分布寄生電容進(jìn)行分析是基于圖2所示的繞組結(jié)構(gòu)，即用單股線均勻繞制的電感器結(jié)構(gòu)模型。
電感器的總寄生電容包括如下幾個(gè)部分：①同一層繞組匝與匝之間的電容；②相鄰層繞組匝與匝之間的電容；③繞組每一匝對磁心及屏蔽層的電容。
圖2示出了有規(guī)則地繞制的三層繞組的剖視圖。圖3則示出了匝與匝之間分布寄生電容的基本單元ABCD。從圖2和圖3可見電感線圈結(jié)構(gòu)是成幾何對稱的，從繞組每一根導(dǎo)線發(fā)出的電力線*被另外的導(dǎo)線包圍。如果假設(shè)線圈的各部分（如匝與匝、匝與磁心、匝與屏蔽層）彼此相距很近，這就是說，將沒有那一根電力線可以發(fā)出去無窮遠(yuǎn)。又因?yàn)槔@組的結(jié)構(gòu)是幾何對稱型，所以電力線肯定只在鄰近的導(dǎo)線間均勻分布。假如只考慮兩根相鄰導(dǎo)線間的情況，則其寄生電容的微分方程式可寫為：
ds=ε·ds/x （1）
式中，ds為相鄰兩導(dǎo)線相對的表面面積的微分；ε=εo·εr是介質(zhì)材料的介電常數(shù)；x是這兩根導(dǎo)線對應(yīng)表面之間的電力線長度。在一般情況下，長度x不是常數(shù)，但可以表述為一個(gè)給定微面的函數(shù)。為此，應(yīng)選擇某一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)。對于圓形導(dǎo)體，給定的微面可以用一個(gè)角坐標(biāo)值θ表述，見圖4所示。因此，ds也取決于角坐標(biāo)值θ。
3 線匝間的分布寄生電容
3.1 寄生電容的基本單元結(jié)構(gòu)
反映線匝與線匝之間寄生電容的基本單元ABCD如圖3所示。從圖中可以看到，繞組之同一層次的相鄰兩線匝與不同層次的相鄰兩線匝的寄生電容基本單元是相同的。為此，里層的繞組都可以分解為相同的基本單元，只有鄰近磁芯和鄰近屏蔽層的單元和線匝—線匝間的單元不相同。但是，如果采用一階近似算法，則可以考慮將所有的寄生電容的基本單元定義為相同的。由圖3可以看出，它們包含著每線匝的對應(yīng)角度（=π/3）的周邊部分。因此，為了得到線匝與線匝間的寄生電容，式（1）應(yīng)在π/3上積分。從圖2和圖3所示的寄生電容單元的對稱性也說明了這種關(guān)系。使用一階近似計(jì)算時(shí)，對于沒有被*包圍的導(dǎo)線也可以采用同樣的角度。這種近似計(jì)算的方法等于忽略了邊緣效應(yīng)。
從圖3中可以看出，寄生電容基本單元的電力線穿越三個(gè)不同的區(qū)域，即兩個(gè)絕緣層和它們之間的空氣隙。由此可見，相鄰兩線匝間的寄生電容（dc）等同于三個(gè)微電容串聯(lián)，而且每個(gè)電容器都有均勻的介質(zhì)材料，*個(gè)電容器“寄生”于*線匝的絕緣層，第二個(gè)電容器“寄生”在空氣隙，第三個(gè)電容器“寄生”在第二線匝的絕緣層。由于每匝導(dǎo)線表面可以近似等效為“等勢面”，因此，電力線必定與導(dǎo)體表面正交。如果絕緣層的厚度尺寸S比導(dǎo)線直徑的尺寸（包括絕緣層厚度）Do小得很多，則絕緣層中電力線的路徑可以如圖4那樣作近似的處理。
計(jì)算相鄰線匝間空氣隙里實(shí)際的電力線路徑是很麻煩的，所以按可能的zui短路徑進(jìn)行保守的近似處理是常用的做法。該zui短路徑平行于匝間的中心線，圖4畫出了其中的一段，包括角坐標(biāo)θ。在θ角很小時(shí)，這種近似處理很有效，對計(jì)算線匝—線匝之間的寄生電容值有很大幫助。在θ值相對較大時(shí)，近似計(jì)算法產(chǎn)生的誤差將導(dǎo)致比理論計(jì)算出的寄生電容的值大一些。但是由于線匝—線匝表面之間的寄生電容值隨著θ值的增加而減小，故實(shí)際計(jì)算中發(fā)生的誤差可以被忽略不計(jì)。
3.2 絕緣層之間的寄生電容
圖5表示一個(gè)圓柱面的單元，它示出的是導(dǎo)體絕緣層內(nèi)表面和導(dǎo)體絕緣層外表面之間的那一部絕緣層的厚度。絕緣層的寄生電容的表達(dá)式由其微分方程式給出：
（2）
式中，r為導(dǎo)線半徑（不含絕緣層）；rc是在線半徑ro（包括導(dǎo)線絕緣層）上的積分，l是在零到匝長lt的積分。式（2）代入這些參數(shù)，即可得到dθ的絕緣層的寄生電容計(jì)算式：
（3）
通過式（3），對應(yīng)于絕緣層的每個(gè)基本單元的單位角度的寄生電容則由下式給出：
（4）
（4）
3.3 空氣隙的寄生電容計(jì)算
根據(jù)圖4的幾何結(jié)構(gòu)，假定電力線E的路徑之長度x對于θ的函數(shù)關(guān)系由下式（5）給出：
x（θ）=Do（1-cosθ） （5）
導(dǎo)線單位長度（lt）的表面積（包括絕緣層）由下式（6）給出：
ds=（1/2·lt·Do） （6）
單位角度的單位寄生電容為：
（7）
根據(jù)圖4的幾何結(jié)構(gòu)，假定電力線E的路徑之長度x對于θ的函數(shù)關(guān)系由下式（5）給出：
x（θ）=Do（1-cosθ） （5）
導(dǎo)線單位長度（lt）的表面積（包括絕緣層）由下式（6）給出：
ds=（1/2·lt·Do） （6）
單位角度的單位寄生電容為：
（7）
3.4 基本單元的總寄生電容
基本單元的寄生電容由式（4）和式（7）所得電容值串聯(lián)組合成為下式（8）：
（8）
基本單元的寄生電容由式（4）和式（7）所得電容值串聯(lián)組合成為下式（8）：
（8）
式中，Dc=2rc。
將式（8）積分，積分的范圍為基本單元，可以求出線匝—線匝間總的寄生電容值：
（9）
將式（8）積分，積分的范圍為基本單元，可以求出線匝—線匝間總的寄生電容值：
（9）
4 線匝與磁心間的寄生電容
計(jì)算式（9）也可用來計(jì)算線匝—磁心和線匝—屏蔽層之間的寄生電容。從圖3可見，磁心中為恒電勢且垂直于對稱平面上；基本單元中導(dǎo)線間空氣隙中心到磁心平面間的電力線長度是空氣隙相鄰兩線匝之間的電力線長度的一半。線匝到磁心的基本寄生電容單元要比線匝與線匝之間的基本單元多。每一線匝的周邊部分（對應(yīng)角度為π/2）被包含在線匝—磁心基本單元中，這可以由圖2所示看出。為了簡化并用一階近似計(jì)算，可以認(rèn)為線匝—磁心的基本單元數(shù)量是與線匝—線匝的基本單元數(shù)相同的。由此可以得到計(jì)算線匝—磁心間寄生電容的表達(dá)式：
ctc=2ctt （10）
5 求解寄生電容的簡化方案
首先，我們以圖6所示來表達(dá)計(jì)算式（4）、（7）、（8），圖中虛線代表式（7），點(diǎn)劃線代表式（4），實(shí)線代表式（8）。由圖4和圖6可以看到，在θ=0時(shí)，電力線在空氣隙里的長度等于零，由曲線（7）給出的相應(yīng)的寄生電容接近無窮大；當(dāng)θ增大時(shí)，空氣隙里的電力線隨其變長，寄生電容則隨之變小。而由曲線（4）給出的寄生電容則在全部基本單元中保持著恒值。因此，在較小的θ時(shí)，空氣隙里的寄生電容比絕緣層里的寄生電容的串聯(lián)組合大得多。而在較大θ時(shí)，空氣隙里的寄生電容比絕緣層中的寄生電容串聯(lián)組合小得多。由式（9）給出的線匝—線匝間的寄生電容對應(yīng)于圖6中的曲線（8）——實(shí)線以下的區(qū)域。曲線（7）——虛線和曲線（4）——點(diǎn)劃線相交于角θ*。這樣，可以通過曲線（4）之下，θ*之右的面積與曲線（7）以下，θ*之左的面積來逼近曲線（8）之下的面積。這個(gè)近似值很保守，因?yàn)楹笳叩拿娣e比前者的大得多。因此，圖3所示的基本單元ABCD可以被劃分成三個(gè)部分：一個(gè)在中間的θ≤θ*，兩邊部分對應(yīng)于θ*≤π/6和-π/6≤-θ*。從計(jì)算的角度考慮，可以在θ≤θ*時(shí)，用式（4）給出的絕緣層的等效寄生電容和用式（7）給出的θ*<θ≤π/6時(shí)，空氣隙里的寄生電容用來代替式（8）的等效電容。zui后可以得到等效絕緣層中寄生電容的表達(dá)式：
（11）
計(jì)算式（9）也可用來計(jì)算線匝—磁心和線匝—屏蔽層之間的寄生電容。從圖3可見，磁心中為恒電勢且垂直于對稱平面上；基本單元中導(dǎo)線間空氣隙中心到磁心平面間的電力線長度是空氣隙相鄰兩線匝之間的電力線長度的一半。線匝到磁心的基本寄生電容單元要比線匝與線匝之間的基本單元多。每一線匝的周邊部分（對應(yīng)角度為π/2）被包含在線匝—磁心基本單元中，這可以由圖2所示看出。為了簡化并用一階近似計(jì)算，可以認(rèn)為線匝—磁心的基本單元數(shù)量是與線匝—線匝的基本單元數(shù)相同的。由此可以得到計(jì)算線匝—磁心間寄生電容的表達(dá)式：
ctc=2ctt （10）
5 求解寄生電容的簡化方案
首先，我們以圖6所示來表達(dá)計(jì)算式（4）、（7）、（8），圖中虛線代表式（7），點(diǎn)劃線代表式（4），實(shí)線代表式（8）。由圖4和圖6可以看到，在θ=0時(shí)，電力線在空氣隙里的長度等于零，由曲線（7）給出的相應(yīng)的寄生電容接近無窮大；當(dāng)θ增大時(shí)，空氣隙里的電力線隨其變長，寄生電容則隨之變小。而由曲線（4）給出的寄生電容則在全部基本單元中保持著恒值。因此，在較小的θ時(shí)，空氣隙里的寄生電容比絕緣層里的寄生電容的串聯(lián)組合大得多。而在較大θ時(shí)，空氣隙里的寄生電容比絕緣層中的寄生電容串聯(lián)組合小得多。由式（9）給出的線匝—線匝間的寄生電容對應(yīng)于圖6中的曲線（8）——實(shí)線以下的區(qū)域。曲線（7）——虛線和曲線（4）——點(diǎn)劃線相交于角θ*。這樣，可以通過曲線（4）之下，θ*之右的面積與曲線（7）以下，θ*之左的面積來逼近曲線（8）之下的面積。這個(gè)近似值很保守，因?yàn)楹笳叩拿娣e比前者的大得多。因此，圖3所示的基本單元ABCD可以被劃分成三個(gè)部分：一個(gè)在中間的θ≤θ*，兩邊部分對應(yīng)于θ*≤π/6和-π/6≤-θ*。從計(jì)算的角度考慮，可以在θ≤θ*時(shí)，用式（4）給出的絕緣層的等效寄生電容和用式（7）給出的θ*<θ≤π/6時(shí)，空氣隙里的寄生電容用來代替式（8）的等效電容。zui后可以得到等效絕緣層中寄生電容的表達(dá)式：
（11）
在θ*以θ≤π/6對式（7）積分，則得到：
（12）
（12）
角θ*對應(yīng)于圖6中的交點(diǎn)，可由式（4）與式（7）得到：
（13）
式中，Dc是導(dǎo)線（不包括絕緣層）的直徑。整理得出：
（14）
基于單元總的寄生電容等于各個(gè)部分寄生電容的并聯(lián)：
（15）
（15）
式中，θ*值由式（14）算出。
6 總寄生電容
為了得到圖1所示電感器等效電路的繞組寄生電容，可以采用線匝—線匝間的電容值Ctt和線匝—磁心間的電容值Ctc的計(jì)算方法；圖2所示的多層線圈等效的層—層之間和層—磁心之間的電容值，可以用一個(gè)由集總參數(shù)電容器構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)去計(jì)算解決問題。在實(shí)際應(yīng)用中，在高頻范圍內(nèi)，線匝與線匝之間的寄生電容Ctt的并聯(lián)電抗要比RLM支路的阻抗小得多。在高頻狀態(tài)下工作時(shí)，線匝的感抗和阻抗可以忽略不計(jì)（原因是它們處于開路狀態(tài)），所以，電容網(wǎng)路被假設(shè)的計(jì)算全部線圈寄生電容的等效電路。在低頻狀態(tài)工作時(shí)，線圈的感性阻抗具有支配性影響，故這個(gè)辦法是不完善的。
圖7示出了一個(gè)單層線圈繞制在同一磁心上的集總電容網(wǎng)絡(luò)。該線圈的總寄生電容值Cn可以看作由（n-1）個(gè)線匝—線匝間的電容串聯(lián)的等效電容。
Cn=Ctt /（n-1） （16）
需要注意的是，與前述所作假設(shè)的計(jì)算相比較，式（16）計(jì)算的精度比較低。
6.1 帶有磁心的單層線圈的總寄生電容計(jì)算
如圖7所示的匝數(shù)為n匝的帶有磁心的單層線圈的集總電容網(wǎng)絡(luò)可以用來求解總寄生電容，n為任意數(shù)。為了簡化計(jì)算線匝與鐵心間的寄生電容，需要人為地把尺寸縮小，即把磁心（或屏蔽層）看作一個(gè)簡單的節(jié)點(diǎn)，在這里可以利用線路的對稱性將所有的線匝—磁心（或者線匝—屏蔽層）的電容都聯(lián)起來。
對于以很多線匝構(gòu)成的繞組，應(yīng)首先計(jì)算中間的兩匝，這時(shí)的n=2，網(wǎng)絡(luò)由匝間電容C12和相互平行的線匝—磁心電容C1C和C2C串聯(lián)組合而成。因?yàn)?/span>C1C=C2C=2Ctt，故兩線匝之間的等效電容可以寫為：
Cn=Ctt+2Ctt/2=2Ctt
對于匝數(shù)為奇數(shù)的線圈，則應(yīng)首先計(jì)算線圈中間的三匝；關(guān)于n=3的電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容，可以把C2C分成兩等份來計(jì)算，如圖8所示，運(yùn)用Δ/Y變換，其結(jié)果是Ctt/2+Ctt/2=Ctt/2+2Ctt/2=3/2Ctt。因?yàn)榈刃щ娐返膶ΨQ性，這一結(jié)論也可以從觀察C2C對等效電容是沒有影響的情況中得到。
為了計(jì)算由4匝或5匝構(gòu)成的線圈的總寄生電容，可以在2匝或3匝線圈的兩邊加上幾匝，其總寄生電容等于前面計(jì)算的電容與幾個(gè)線匝—線匝之間電容串聯(lián)及幾個(gè)線匝——磁心電容的并聯(lián)。
當(dāng)n=4時(shí)，
Cn（4）=[CttCn（2）]/[2Cn（2）+Ctt]+Ctt=7/5Ctt （17）
當(dāng)n=5時(shí)，
Cn（5）=[CttCn（3）]/[2Cn（3）+Ctt]+Ctt=11/8Ctt （18）
同時(shí)在每一匝的兩邊加一匝或幾匝，則可以計(jì)算出任意匝數(shù)線圈的寄生電容。所以，當(dāng)n=n時(shí)，
（19）
為了得到圖1所示電感器等效電路的繞組寄生電容，可以采用線匝—線匝間的電容值Ctt和線匝—磁心間的電容值Ctc的計(jì)算方法；圖2所示的多層線圈等效的層—層之間和層—磁心之間的電容值，可以用一個(gè)由集總參數(shù)電容器構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)去計(jì)算解決問題。在實(shí)際應(yīng)用中，在高頻范圍內(nèi)，線匝與線匝之間的寄生電容Ctt的并聯(lián)電抗要比RLM支路的阻抗小得多。在高頻狀態(tài)下工作時(shí)，線匝的感抗和阻抗可以忽略不計(jì)（原因是它們處于開路狀態(tài)），所以，電容網(wǎng)路被假設(shè)的計(jì)算全部線圈寄生電容的等效電路。在低頻狀態(tài)工作時(shí)，線圈的感性阻抗具有支配性影響，故這個(gè)辦法是不完善的。
圖7示出了一個(gè)單層線圈繞制在同一磁心上的集總電容網(wǎng)絡(luò)。該線圈的總寄生電容值Cn可以看作由（n-1）個(gè)線匝—線匝間的電容串聯(lián)的等效電容。
Cn=Ctt /（n-1） （16）
需要注意的是，與前述所作假設(shè)的計(jì)算相比較，式（16）計(jì)算的精度比較低。
6.1 帶有磁心的單層線圈的總寄生電容計(jì)算
如圖7所示的匝數(shù)為n匝的帶有磁心的單層線圈的集總電容網(wǎng)絡(luò)可以用來求解總寄生電容，n為任意數(shù)。為了簡化計(jì)算線匝與鐵心間的寄生電容，需要人為地把尺寸縮小，即把磁心（或屏蔽層）看作一個(gè)簡單的節(jié)點(diǎn)，在這里可以利用線路的對稱性將所有的線匝—磁心（或者線匝—屏蔽層）的電容都聯(lián)起來。
對于以很多線匝構(gòu)成的繞組，應(yīng)首先計(jì)算中間的兩匝，這時(shí)的n=2，網(wǎng)絡(luò)由匝間電容C12和相互平行的線匝—磁心電容C1C和C2C串聯(lián)組合而成。因?yàn)?/span>C1C=C2C=2Ctt，故兩線匝之間的等效電容可以寫為：
Cn=Ctt+2Ctt/2=2Ctt
對于匝數(shù)為奇數(shù)的線圈，則應(yīng)首先計(jì)算線圈中間的三匝；關(guān)于n=3的電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容，可以把C2C分成兩等份來計(jì)算，如圖8所示，運(yùn)用Δ/Y變換，其結(jié)果是Ctt/2+Ctt/2=Ctt/2+2Ctt/2=3/2Ctt。因?yàn)榈刃щ娐返膶ΨQ性，這一結(jié)論也可以從觀察C2C對等效電容是沒有影響的情況中得到。
為了計(jì)算由4匝或5匝構(gòu)成的線圈的總寄生電容，可以在2匝或3匝線圈的兩邊加上幾匝，其總寄生電容等于前面計(jì)算的電容與幾個(gè)線匝—線匝之間電容串聯(lián)及幾個(gè)線匝——磁心電容的并聯(lián)。
當(dāng)n=4時(shí)，
Cn（4）=[CttCn（2）]/[2Cn（2）+Ctt]+Ctt=7/5Ctt （17）
當(dāng)n=5時(shí)，
Cn（5）=[CttCn（3）]/[2Cn（3）+Ctt]+Ctt=11/8Ctt （18）
同時(shí)在每一匝的兩邊加一匝或幾匝，則可以計(jì)算出任意匝數(shù)線圈的寄生電容。所以，當(dāng)n=n時(shí)，
（19）
式中，Cn（n-2）是（n-2）匝的線圈的寄生電容。從式（19）可以看到，隨著線圈匝數(shù)的增加，數(shù)列Cn（n）迅速收斂，Cn≈1.366Ctt，（n≥10） （20）
6.2 不帶磁心的兩層線圈的總寄生電容計(jì)算
我們可以用上述類似計(jì)算方法計(jì)算兩層不帶磁心線圈的寄生電容。在這種計(jì)算中，假設(shè)第二層的匝數(shù)遠(yuǎn)少于*層且繞向相反。隨著匝數(shù)n的增加，可以獲得連續(xù)的電容值，并迅速收斂于：
Cn≈1.618Ctt，（n≥10） （21）
6.3 帶磁心的兩層和三層線圈的總寄生電容計(jì)算
按照“6.2”中同樣的假設(shè)，當(dāng)線圈帶有磁心時(shí)，n匝線圈的總寄生電容收斂于：
Cn≈1.83Ctt，（n≥10） （22）
從以上的討論中可見，兩層線圈比單層線圈存在更大的寄生電容，在高頻下工作時(shí)還具有更高的阻抗，因此，兩層以上的線圈不適合在高頻下工作。雖然三層線圈的總寄生電容有所減小，但集總電容網(wǎng)絡(luò)變得更復(fù)雜了。對于n>10的三層不帶磁心的線圈（如圖2所示），其總寄生電容值收斂于：
Cn≈0.5733Ctt （23）
由式（23）可見，三層線圈的寄生電容比兩層線圈的寄生電容小得多，但當(dāng)層數(shù)增加，鄰近效應(yīng)的影響將增大，因此在高頻下工作時(shí)應(yīng)使用單層線圈電感器。
7 電感器寄生電容理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測試值的比較
以下，我們以一種單層繞組的帶磁心變壓器的測試結(jié)果與理論計(jì)算值進(jìn)行對照。
該變壓器線圈的直徑Dt=14.3mm，匝數(shù)n=95匝，而匝長lt=πDt=3.14×14.3=44.925（mm）；導(dǎo)線的內(nèi)外徑分別為Dc=0.45（mm），Do=0.495（mm），絕緣層厚度S=0.0225（mm），非浸漬磁心的絕緣層的介電常數(shù)εr=3.5。
用式（14）、（15）和（20）可計(jì)算得到θ*=0.2339rad≈13.4°，Ctt=5.318PF，Ds=7.26PF，電感量L=75.1μH。由以上數(shù)據(jù)可計(jì)算得到該變壓器線圈的諧振頻率。
我們使用HP4194A阻抗/相位、增益分析儀對該線圈進(jìn)行測量。在100kHz時(shí)，其電感量L=75.1μH；測試得到的諧振頻率為fr=6.2MHz，總寄生電容值Cs=8.77PF，自諧振頻率的誤差為9.68%，固有寄生電容的誤差是-17.2%。
以表達(dá)式（9）可以計(jì)算出Ctt：
（24）
6.2 不帶磁心的兩層線圈的總寄生電容計(jì)算
我們可以用上述類似計(jì)算方法計(jì)算兩層不帶磁心線圈的寄生電容。在這種計(jì)算中，假設(shè)第二層的匝數(shù)遠(yuǎn)少于*層且繞向相反。隨著匝數(shù)n的增加，可以獲得連續(xù)的電容值，并迅速收斂于：
Cn≈1.618Ctt，（n≥10） （21）
6.3 帶磁心的兩層和三層線圈的總寄生電容計(jì)算
按照“6.2”中同樣的假設(shè)，當(dāng)線圈帶有磁心時(shí)，n匝線圈的總寄生電容收斂于：
Cn≈1.83Ctt，（n≥10） （22）
從以上的討論中可見，兩層線圈比單層線圈存在更大的寄生電容，在高頻下工作時(shí)還具有更高的阻抗，因此，兩層以上的線圈不適合在高頻下工作。雖然三層線圈的總寄生電容有所減小，但集總電容網(wǎng)絡(luò)變得更復(fù)雜了。對于n>10的三層不帶磁心的線圈（如圖2所示），其總寄生電容值收斂于：
Cn≈0.5733Ctt （23）
由式（23）可見，三層線圈的寄生電容比兩層線圈的寄生電容小得多，但當(dāng)層數(shù)增加，鄰近效應(yīng)的影響將增大，因此在高頻下工作時(shí)應(yīng)使用單層線圈電感器。
7 電感器寄生電容理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測試值的比較
以下，我們以一種單層繞組的帶磁心變壓器的測試結(jié)果與理論計(jì)算值進(jìn)行對照。
該變壓器線圈的直徑Dt=14.3mm，匝數(shù)n=95匝，而匝長lt=πDt=3.14×14.3=44.925（mm）；導(dǎo)線的內(nèi)外徑分別為Dc=0.45（mm），Do=0.495（mm），絕緣層厚度S=0.0225（mm），非浸漬磁心的絕緣層的介電常數(shù)εr=3.5。
用式（14）、（15）和（20）可計(jì)算得到θ*=0.2339rad≈13.4°，Ctt=5.318PF，Ds=7.26PF，電感量L=75.1μH。由以上數(shù)據(jù)可計(jì)算得到該變壓器線圈的諧振頻率。
我們使用HP4194A阻抗/相位、增益分析儀對該線圈進(jìn)行測量。在100kHz時(shí)，其電感量L=75.1μH；測試得到的諧振頻率為fr=6.2MHz，總寄生電容值Cs=8.77PF，自諧振頻率的誤差為9.68%，固有寄生電容的誤差是-17.2%。
以表達(dá)式（9）可以計(jì)算出Ctt：
（24）
由此Ctt值可見，線匝—線匝之間的寄生電容比使用式（15）計(jì)算得出的值要小。因?yàn)槭?/span>（15）是經(jīng)過近似處理的，故在此前提下，其結(jié)果仍然是一致的。
8 小結(jié)
文章提出了計(jì)算和檢測電感器線圈寄生電容的方法，得出了計(jì)算寄生電容的表達(dá)式；這些方法和表達(dá)式適用于對單層和多層線圈寄生電容的預(yù)測，也提出了匝數(shù)和層數(shù)對寄生電容的影響程度；隨著導(dǎo)線絕緣層厚度的增加，寄生電容將減小。用這種方法和模型對高頻工作的電感器進(jìn)行設(shè)計(jì)和模擬是簡單而準(zhǔn)確的。
